Funcions ortogonals

En matemàtiques, les funcions ortogonals pertanyen a un espai funcional que és un espai vectorial equipat amb una forma bilineal. Quan l'espai de funcions té un interval com a domini, la forma bilineal pot ser la integral del producte de funcions sobre l'interval: ^[1]

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

Les funcions ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ són ortogonals quan aquesta integral és zero, és a dir ${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$ sempre que ${\displaystyle f\neq g}$. Igual que amb una base de vectors en un espai de dimensions finites, les funcions ortogonals poden formar una base infinita per a un espai de funcions. Conceptualment, la integral anterior és l'equivalent d'un producte escalat vectorial; dos vectors són mútuament independents (ortogonals) si el seu producte escalat és zero.

Suposem ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ és una seqüència de funcions ortogonals de L²-normes diferents de zero ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$. Es dedueix que la seqüència ${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$ és de funcions de L²-norma una, formant una seqüència ortonormal. Per tenir una norma L ² definida, la integral ha d'estar acotada, cosa que restringeix les funcions a ser integrables al quadrat.^[2][3][4]